二叉搜索树的常用操作

1.相关博客

注意:示例代码中的 TreeNode 对象和结构体定义如下:

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public class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
TreeNode(int x) { val = x; }
}
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struct TreeNode {
int val;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
}

2.简介

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  • 二叉搜索树
    • 不仅可以查找数据,还可以高效地插入、删除数据(即动态维护数据)。
    • 堆的二叉树一定是完全二叉树,所以用数组表示很方便。而二叉搜索树不一定是完全二叉树,所以不好用数组表示,通常使用引用的方式表示二叉搜索树节点间的关系。
    • 二叉搜索树中的问题:求最小值、最大值、查找一个节点的前驱节点和后继节点,实现 floor、ceil 和 rank 函数、以及支持插入重复节点值的二叉搜索树该如何实现。
    • 二叉搜索树的局限性:可能退化成链表,此时二叉搜索树的高度为 n ,时间复杂度退化为 O(n),还不如顺序查找表(原因:顺序查找表不用递归实现且不需要每次访问两个指针)。它不能像堆一样保证所有的操作一定是 O(logn) 级别的。
  • 平衡二叉树:改进二叉树的实现,使之不能退化成链表。
    • 平衡二叉树最著名的实现:红黑树
    • 其他平衡二叉树的实现:SBT 树、AVL 树、Splay 树
    • 平衡二叉树和堆的结合:Treap
    • 树形问题:归并排序、快速排序、搜索树(八皇后)

3.查找最大值或最小值

  • 返回以 root 为根节点的二叉搜索树中的最大(小)节点
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public TreeNode findMax(TreeNode root) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.right == null) {
return root;
}
return findMax(root.right);
}

public TreeNode findMin(TreeNode root) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.left == null) {
return root;
}
return findMin(root.left);
}
  • 返回以 root 为根节点的二叉搜索树中的最大 (小)节点的节点值
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int findMax(struct TreeNode* root) {
if (!root->right) {
return root->val;
}
return findMax(root->right);
}

int findMin(struct TreeNode* root) {
if (!root->left) {
return root->val;
}
return findMin(root->left);
}

4.删除最大值或最小值

  • 删除以 root 为根节点的二叉搜索树中的最大(小)节点,返回删除最大(小)节点后新的二叉搜索树的根。
    • 删除最大值:向右走到头,若它是叶子节点则直接删除,若它有左子树,则将左子树赋给其父亲节点(最大值所在的节点只可能有左孩子)
    • 删除最小值:向左走到头,若它是叶子节点则直接删除,若它有右子树,则将右子树赋给其父亲节点(最小值所在的节点只可能有右孩子)
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public TreeNode removeMax(TreeNode root) {
if (root.right == null) {
return root.left;
}
root.right = removeMax(root.right);
return root;
}

public TreeNode removeMin(TreeNode root) {
if (root.left == null) {
return root.right;
}
root.left = removeMin(root.left);
return root;
}
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struct TreeNode* removeMax(struct TreeNode* root) {
if (!root->right) {
return root->left;
}
root->right = removeMax(root->right);
return root;
}

struct TreeNode* removeMin(struct TreeNode* root) {
if (!root->left) {
return root->right;
}
root->left = removeMin(root->left);
return root;
}

5.二叉搜索树中的搜索

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  • 查找节点的过程:
    • 和当前节点值相等,则直接返回
    • 小于当前节点值,在左子树中查找
    • 大于当前节点值,在右子树中查找
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// 1.尾递归
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (val == root.val) {
return root;
}
else if (val < root.val) {
return searchBST(root.left, val);
}
else {
return searchBST(root.right, val);
}
}

// 2.迭代
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
while (root != null) {
if (val == root.val) {
return root;
}
else if (val < root.val) {
root = root.left;
}
else {
root = root.right;
}
}
return null;
}
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// 1.尾递归
struct TreeNode* searchBST(struct TreeNode* root, int val) {
if (!root) {
return NULL;
}
if (val == root->val) {
return root;
}
else if (val < root->val) {
return searchBST(root->left, val);
}
else {
return searchBST(root->right, val);
}
}

// 2.迭代
struct TreeNode* searchBST(struct TreeNode* root, int val) {
while (root) {
if (val == root->val) {
return root;
}
else if (val < root->val) {
root = root->left;
}
else {
root = root->right;
}
}
return NULL;
}

6.二叉搜索树中的遍历操作


7.二叉搜索树中的插入操作

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  • 插入新节点的过程:
    • 和当前节点值相等,则直接返回(假设这种情况不存在)
    • 小于当前节点值,在左子树中插入
    • 大于当前节点值,在右子树中插入
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// 1.尾递归
public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
// 找到插入位置
if (root == null) {
return new TreeNode(val);
}
if (val < root.val) {
root.left = insertIntoBST(root.left, val);
}
else {
root.right = insertIntoBST(root.right, val);
}
return root;
}

// 2.迭代
public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
TreeNode node = root;
while (node != null) {
if (val < node.val) {
// 找到插入位置
if (node.left == null) {
node.left = new TreeNode(val);
break;
}
node = node.left;
}
else {
// 找到插入位置
if (node.right == null) {
node.right = new TreeNode(val);
break;
}
node = node.right;
}
}
return root;
}
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// 1.尾递归
struct TreeNode* insertIntoBST(struct TreeNode* root, int val) {
// 找到插入位置
if (!root) {
struct TreeNode* node = malloc(sizeof(struct TreeNode));
node->val = val;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
if (val < root->val) {
root->left = insertIntoBST(root->left, val);
}
else {
root->right = insertIntoBST(root->right, val);
}
return root;
}

// 2.迭代
struct TreeNode* insertIntoBST(struct TreeNode* root, int val) {
struct TreeNode* t = root;
while (t) {
if (val < t->val) {
// 找到插入位置
if (!t->left) {
struct TreeNode* node = malloc(sizeof(struct TreeNode));
node->val = val;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
t->left = node;
break;
}
t = t->left;
}
else {
// 找到插入位置
if (!t->right) {
struct TreeNode* node = malloc(sizeof(struct TreeNode));
node->val = val;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
t->right = node;
break;
}
t = t->right;
}
}
return root;
}

8.删除二叉搜索树中的节点

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  • 分析:
    • 删除只有一个孩子的节点:直接将孩子赋给其父节点
    • 删除有两个孩子的节点:找到其右子树中的最小值代替该节点(即该节点的后继节点)
      或找到其左子树中的最大值代替该节点(即该节点的前驱节点)。
  • 具体做法:先创建一个新节点(值是其后继节点或前驱节点的节点值),再把被删除节点的后继节点或前驱节点在原位置删除,最后将被删除节点的左右子树分别赋值给该新节点。
  • 删除二叉搜索树中任意一个节点的时间复杂度为 O(logn)
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// 1.用被删除节点的前驱节点(是其左子树中的最大值所在的节点)替换被删除的节点
// 返回以root为根节点的二分搜索树中的最大节点
public TreeNode findMax(TreeNode root) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.right == null) {
return root;
}
return findMax(root.right);
}

public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
if (root == null) {
return null;
}
if (key < root.val) {
root.left = deleteNode(root.left, key);
}
else if (key > root.val) {
root.right = deleteNode(root.right, key);
}
else {
if (root.left == null) {
return root.right;
}
else if (root.right == null) {
return root.left;
}
else {
// 此时root是被删除的节点
// maxNode(node)是被删除节点的前驱节点
TreeNode maxNode = findMax(root.left);
// 将被删除节点的前驱节点放在被删除节点的位置
TreeNode node = new TreeNode(maxNode.val);
// 删除原来的前驱节点
node.left = deleteNode(root.left, maxNode.val);
node.right = root.right;
return node;
}
}
return root;
}

// 2.用被删除节点的后继节点(是其右子树中的最小值所在的节点)替换被删除的节点
// 返回以root为根节点的二分搜索树中的最小节点
public TreeNode findMin(TreeNode root) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.left == null) {
return root;
}
return findMin(root.left);
}

public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
if (root == null) {
return null;
}
if (key < root.val) {
root.left = deleteNode(root.left, key);
}
else if (key > root.val) {
root.right = deleteNode(root.right, key);
}
else {
if (root.left == null) {
return root.right;
}
else if (root.right == null) {
return root.left;
}
else {
// 此时root是被删除的节点
// minNode(node)是被删除节点的后继节点
TreeNode minNode = findMin(root.right);
// 将被删除节点的后继节点放在被删除节点的位置
TreeNode node = new TreeNode(minNode.val);
node.left = root.left;
// 删除原来的后继节点
node.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
return node;
}
}
return root;
}
  • 具体做法:先将被删除节点的节点值改为其后继节点或前驱节点的节点值,再把被删除节点的后继节点或前驱节点在原位置删除。
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// 1.用被删除节点的前驱节点(是其左子树中的最大值所在的节点)替换被删除的节点
// 返回以root为根节点的二分搜索树中的最大节点
int findMax(struct TreeNode* root) {
if (!root->right) {
return root->val;
}
return findMax(root->right);
}

struct TreeNode* deleteNode(struct TreeNode* root, int key) {
if (!root) {
return NULL;
}
if (key < root->val) {
root->left = deleteNode(root->left, key);
}
else if (key > root->val) {
root->right = deleteNode(root->right, key);
}
else {
if (!root->left) {
return root->right;
}
else if (!root->right) {
return root->left;
}
else {
// 此时root是被删除的节点
// max是被删除节点的前驱节点的值
int max = findMax(root->left);
// 将被删除节点的前驱节点放在被删除节点的位置
root->val = max;
// 删除原来的前驱节点
root->left = deleteNode(root->left, max);
root->right = root->right;
}
}
return root;
}

// 2.用被删除节点的后继节点(是其右子树中的最小值所在的节点)替换被删除的节点
// 返回以root为根节点的二分搜索树中的最小节点
int findMin(struct TreeNode* root) {
if (!root->left) {
return root->val;
}
return findMin(root->left);
}

struct TreeNode* deleteNode(struct TreeNode* root, int key) {
if (!root) {
return NULL;
}
if (key < root->val) {
root->left = deleteNode(root->left, key);
}
else if (key > root->val) {
root->right = deleteNode(root->right, key);
}
else {
if (!root->left) {
return root->right;
}
else if (!root->right) {
return root->left;
}
else {
// 此时root是被删除的节点
// min是被删除节点的后继节点的值
int min = findMin(root->right);
// 将被删除节点的后继节点放在被删除节点的位置
root->val = min;
// 删除原来的后继节点
root->left = root->left;
root->right = deleteNode(root->right, min);
}
}
return root;
}

9.二叉搜索树的第 k 大节点

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// 1.中序遍历二叉搜索树得到升序数列,再找到第k大节点的值。
private List<Integer> list;

private void inorderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inorderTraversal(root.left);
list.add(root.val);
inorderTraversal(root.right);
}

public int kthLargest(TreeNode root, int k) {
list = new ArrayList<>();
inorderTraversal(root);
return list.get(list.size() - k);
}

// 2.优化: 对于升序数组来说,第k小节点值易求,第k大节点值不易求。
// 所以逆中序遍历二叉搜索树得到降序数列,当遍历到第k个值时,即得第k大节点值,结束递归。
private int k;
private int k_number;

private void inorderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inorderTraversal(root.right);
if (--k == 0) {
k_number = root.val;
return;
}
inorderTraversal(root.left);
}

public int kthLargest(TreeNode root, int k) {
this.k = k;
inorderTraversal(root);
return k_number;
}

// 3.迭代(逆中序遍历)
public int kthLargest(TreeNode root, int k) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
int count = 0;
while (!stack.isEmpty() || root != null) {
// 遇到一个节点,就把它压入栈中,并去遍历它的右子树。
while (root != null) {
stack.push(root);
root = root.right;
}
// 当右子树遍历结束后,弹出栈顶元素并访问它。
if (!stack.isEmpty()) {
root = stack.pop();
if (++count == k) {
return root.val;
}
// 再去中序遍历该节点的左子树
root = root.left;
}
}
return -1;
}
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// 1.中序遍历二叉搜索树得到升序数列,再找到第k大节点的值。
void orderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize, int* arr) {
if (!root) {
return;
}
orderTraversal(root->left, returnSize, arr);
arr[(*returnSize)++] = root->val;
orderTraversal(root->right, returnSize, arr);
}

// 统计结点数
int makeSize(struct TreeNode* root) {
if (!root) {
return 0;
}
return makeSize(root->left) + makeSize(root->right) + 1;
}

int kthLargest(struct TreeNode* root, int k){
int size = makeSize(root);
int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
int* returnSize = (int*)malloc(sizeof(int));
*returnSize = 0;
orderTraversal(root, returnSize, arr);
return arr[size - k];
}

// 2.优化: 对于升序数组来说,第k小节点值易求,第k大节点值不易求。
// 所以逆中序遍历二叉搜索树得到降序数列,当遍历到第k个值时,即得第k大节点值,结束递归。
void orderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize, int* arr, int k, int* k_number) {
if (!root) {
return;
}
orderTraversal(root->right, returnSize, arr, k, k_number);
if (++(*returnSize) == k) {
*k_number = root->val;
}
orderTraversal(root->left, returnSize, arr, k, k_number);
}

// 统计结点数
int makeSize(struct TreeNode* root) {
if (!root) {
return 0;
}
return makeSize(root->left) + makeSize(root->right) + 1;
}

int kthLargest(struct TreeNode* root, int k){
int size = makeSize(root);
int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
int* returnSize = (int*)malloc(sizeof(int));
int* k_number = (int*)malloc(sizeof(int));
*returnSize = 0;
*k_number = 0;
orderTraversal(root, returnSize, arr, k, k_number);
return *k_number;
}

// 3.迭代(逆中序遍历)
// 统计结点数
int makeSize(struct TreeNode* root) {
if (!root)
return 0;

return makeSize(root->left) + makeSize(root->right) + 1;
}

typedef struct {
struct TreeNode** array;
int top;
} Stack;

int kthLargest(struct TreeNode* root, int k){
int size = makeSize(root);
int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
Stack* s = (Stack*)malloc(sizeof(Stack));
s->array = (struct TreeNode**)malloc(sizeof(struct TreeNode*) * size);
s->top = -1;
int count = 0;
while (s->top != -1 || root) {
// 遇到一个节点,就把它压入栈中,并去遍历它的右子树。
while (root) {
s->array[++s->top] = root;
root = root->right;
}
// 当右子树遍历结束后,弹出栈顶元素并访问它。
if (s->top != -1) {
root = s->array[s->top--];
if (++count == k) {
return root->val;
}
// 再去中序遍历该节点的左子树
root = root->left;
}
}
return -1;
}

10.二叉搜索树的范围和

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// 明确题意: 求出所有满足 节点值>=L且节点值<=R 的节点的值的和
// 1.递归解法
public int rangeSumBST(TreeNode root, int L, int R) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.val < L) {
// root.val<L,说明其左子树所有的值都小于L,排除这些节点。
return rangeSumBST(root.right, L, R);
}
else if (root.val > R) {
// root.val>R,说明其右子树所有的值都大于R,排除这些节点。
return rangeSumBST(root.left, L, R);
}
else {
return root.val + rangeSumBST(root.right, L, R) + rangeSumBST(root.left, L, R);
}
}

// 2.迭代
public int rangeSumBST(TreeNode root, int L, int R) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
int sum = 0;
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
TreeNode node = stack.pop();
if (node != null) {
// root.val<L,说明其左子树所有的值都小于L,排除这些节点。
if (node.val < L) {
stack.push(node.right);
}
// root.val>R,说明其右子树所有的值都大于R,排除这些节点。
else if (node.val > R) {
stack.push(node.left);
}
else {
sum += node.val;
stack.push(node.left);
stack.push(node.right);
}
}
}
return sum;
}
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// 明确题意: 求出所有满足 节点值>=L且节点值<=R 的节点的值的和
// 1.递归解法
int rangeSumBST(struct TreeNode* root, int L, int R) {
if (!root) {
return 0;
}
if (root->val < L) {
// root.val<L,说明其左子树所有的值都小于L,排除这些节点。
return rangeSumBST(root->right, L, R);
}
else if (root->val > R) {
// root.val>R,说明其右子树所有的值都大于R,排除这些节点。
return rangeSumBST(root->left, L, R);
}
else {
return root->val + rangeSumBST(root->left, L, R) + rangeSumBST(root->right, L, R);
}
}

// 2.迭代
// 统计结点数
int makeSize(struct TreeNode* root) {
if (!root)
return 0;

return makeSize(root->left) + makeSize(root->right) + 1;
}

typedef struct {
struct TreeNode** array;
int top;
} Stack;

int rangeSumBST(struct TreeNode* root, int L, int R) {
int size = makeSize(root), sum = 0;
Stack* s = (Stack*)malloc(sizeof(Stack));
s->array = (struct TreeNode**)malloc(sizeof(struct TreeNode*) * size);
s->top = -1;
s->array[++s->top] = root;
while (s->top != -1) {
struct TreeNode* node = s->array[s->top--];
if (node) {
// root.val<L,说明其左子树所有的值都小于L,排除这些节点。
if (node->val < L) {
s->array[++s->top] = node->right;
}
// root.val>R,说明其右子树所有的值都大于R,排除这些节点。
else if (node->val > R) {
s->array[++s->top] = node->left;
}
else {
sum += node->val;
s->array[++s->top] = node->left;
s->array[++s->top] = node->right;
}
}
}
return sum;
}

附录

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